Об одном странном представлении данных

Пусть дана битовая строка. Читаем строку слева направо. Сопоставим нулю операцию умножения на \(x\), а единице операцию дифференцирования \(\frac{d}{dx}\). В качестве базовой функции возьмем \(\exp(-\frac{x^2}{2})\).

Например, строка 100 означает

\[x \cdot x \cdot \frac{d}{dx} \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right) = -x^3 \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right).\]

Полученную функцию умножим на \(\exp(\frac{x^2}{2})\) и получаем \(-x^3\). Таким образом, всякой битовой строке сопоставили многочлен.

Вот таблица для 4-х битовых последовательностей:

Строка	Преобразование	Результат
0000	\(\displaystyle{x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)}\)	\(x^4\)
0001	\(\displaystyle{x \cdot x \cdot x \cdot \frac{d}{dx} \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)}\)	\(-x^4\)
0010	\(\displaystyle{x \cdot x \cdot \frac{d}{dx} \cdot x \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)}\)	\(-x^4 + x^2\)
0011	\(\displaystyle{x \cdot x \cdot \frac{d}{dx} \cdot \frac{d}{dx} \cdot \exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)}\)	\(x^4 - x^2\)
…	…	…

Остальную часть таблицы предлагается заполнить в качестве упражнения.

Любопытно найти закономерности в полученной таблице. Например, если число единиц нечетно, то в полиноме при \(x^4\) коэффициент отрицательный. В одну сторону понятно – по битовой строке можно построить полином, степень которого равна длине строки.

Вопрос: как по полиному определить, соответствует ли ему какая-нибудь строка? Если да, то какая?

Ключевые слова: Алгебра Вейля, операторы рождения и уничтожения в квантовой механике, полиномы Эрмита.